Ridicarea la putere - Teorie si exercitii

RIDICAREA LA PUTERE

a^n=a *a *a *…. *a, de n ori, pentru a si n numere natural, n diferit de 0, n diferit de 1

5^6=5 *5 *5 *5 *5 *5

BAZA^EXPONENT

Ridicarea la putere este o operatie de ordinul al 3-lea. Daca intr-un exercitiu nu exista paranteze, atunci se efectueaza intai ridicarile la putere, apoi inmultirile si impartirile, iar la sfarsit adunarile si scaderile.

Regula utila:

1+2+ 2^2+ 2^3+ ...+ 2^63= 2^64-1

1+a+ a^2+ a^3+ ...+ a^n= a^(n+1)-1

PATRAT PERFECT

Un numar obtinut prin ridicarea la puterea a 2-a a unui numar natural se numeste patrat perfect. Pentru a arata ca un numar nu este patrat perfect, putem arata ca este cuprins intre doua patrate de numere consecutive.

Exemplu: 115 nu este patrat perfect pentru ca 10^2=100<115<121= 11^2

Ultima cifra a unui patrat perfect poate fi numai 0, 1, 4, 5, 6 sau 9.

CUBUL UNUI NUMAR NATURAL

Un numar obtinut prin ridicarea la puterea a 3-a a unui numar natural se numeste cub perfect. Pentru a arata ca un numar natural nu este cubul unui numar natural, se poate dovedi ca numarul este cuprins intre doua cuburi de numere natural consecutive.

COMPARAREA PUTERILOR

- Puteri cu aceeasi baza: Fie a, m, n numere natural, a diferit de 0, a diferit de 1. Daca m < n, atunci a^m < a^n
- Puteri cu acelasi exponent: Fie a, b, m numere natural nenule. Daca a < b, atunci a^m<b^m
- Puteri cu baze si exponenti diferiti: Pentru a compara 2 puteri cu baze diferite si exponenti diferiti, se aduc puterile , daca este posibil, fie la aceeasi baza, fie la acelasi exponent.

Exemplu:
2^3 fata de 4^2.

Atat bazele cat si exponentii sunt diferiti, insa observam ca bazele sunt puteri ale lui 2.
Prin urmare 4^2= (2^2)^2= 2^4.
Acum putem compara 2^3 < 2^4.

Exemplu:
5^21 fata de 9^3.

Si bazele si exponentii sunt diferiti, iar puterile nu pot fi aduse la aceeasi baza.
In acest caz se va afla c.m.m.d.c. al exponentilor.
21 = 3 · 7 ;
3 = 3 · 1
rezulta c.m.m.d.c. = 3
deci 5^21=5^(7· 3)= 78125^3;
9^3 <78125^3 < 5^21

REGULI DE CALCUL CU PUTERI

- Inmultirea puterilor care au aceeasi baza: a^m· a^n= a^(m+n), cu m si n numere natural nenule.
- Impartirea puterilor care au aceeasi baza: a^m: a^n= a^(m-n), cu m si n numere natural nenule.
- Puterea unui produs: (a·b)^n=a^n·b^n, a, b si n, numere natural nenule
- Puterea unei puteri: (a^m)^n= a^(m·n), a, m, n numere naturale nenule